Применение элементов математической логики в учебном процессе

В учебном процессе возникают следующие общеизвестные проблемы: учащиеся затрудняются различать необходимые и достаточные условия, систему и совокупность уравнений/неравенств; правильно применять простейшие теоретико-множественные обозначения. В связи с этим, целесообразно ввести в учебную программу раздел «Элементы математической логики», либо разработать методику непрерывного (по мере необходимости, диктуемой прохождением конкретных тем) внедрения элементов логики в учебную программу. В данной работе выбран второй вариант, который основан на экспериментальных данных, полученных нами в 90-х годах прошлого века, но, на наш взгляд, не потерявших актуальность и в настоящее время. Необходимое, достаточное условие.

Необходимое и достаточное условие Большое внимание нужно уделять изучению понятий «необходимое ус-ловие», «достаточное условие», «необходимое и достаточное условие». Уточнению в математике этих понятий может способствовать установление структурной связи между такими понятиями как прямая теорема; теорема обратная ей; теорема противоположная прямой и теорема обратная про-тивоположной. Но учебники практически не содержат задачи на выявление этой струк-турной связи. Понятия «необходимое условие» и «достаточное условие» можно ввести на частных примерах.

Рассмотрим два равенства:

𝑥 = − 𝑦 , ( 1 ) 2 2 𝑥 = 𝑦 , ( 2 ) Если верно (1), то верно и (2). Обратное утверждать нельзя. Говорят, что равенство (2) является необходимым условием равенства (1), а равенство (1) является достаточным условием равенства (2). Это эквивалентно другому определению: если А ⇒ В, то говорят А ⎯ дос-таточное, В ⎯ необходимое условие. Исходя из привычного мышления, лучше было бы назвать В ⎯ необходимым следствием, а не необходимым условием. Приведенное в учебнике определение не раскрывает смысла и сути. На-пример, из этого определения нельзя получить ответ каким условием для В является А: необходимым, достаточным или и тем, и другим. Приведем предлагаемые нами методики изучения понятий «необходимое» и «достаточное» через установление структурной связи между четырьмя типами теорем: прямой теоремой, обратной ей, противоположной прямой, обратной противоположной.

Знакомство учащихся с высказываниями (5 класс) открывает возможность применения логики высказываний для уточнения указанных понятий. Пусть А ⎯ посылка, В ⎯ заключение прямой теоремы, причем ясно, что А и В , сами по себе могут быть как истинными, так и ложными высказываниями. Образуем всевозможные теоремы, используя общепринятые определения обратной, противоположной, обратной противоположной теоремы: А ⇒ В ⎯ прямая теорема типа логического следования: «если А, то В »; В ⇒ А ⎯ обратная теорема; А ⇒ В ⎯ противоположная прямой теорема (если не А , то не В ); ̅ 𝐵̅ ⇒ 𝐴 ⎯ обратная противоположной теорема. Установим связь между этими теоремами, используя понятие импликации: ̅ ̅ ̅ ̅ А В А ⇒ В В ⇒ А 𝐴 ⇒ 𝐵 𝐵 ⇒ 𝐴 И И И И И И И Л Л И И Л Л И И Л Л И Л Л Л И И И Замечаем, что независимо от конкретного содержания, А и В одновременно истинны или одновременно ложны:

1) Прямая и обратная противоположной теоремы; 2) Обратная прямой и противоположная прямой теоремы. Теперь, используя структурную связь между этими четырьмя типами теорем, уточним понятия «достаточно», «необходимо», «достаточно и не-обходимо». Приведем общепринятые определения этих понятий. Посылка А называется достаточным условием для заключения В , если с возникновением или изменением А непременно возникает или изменяется В, т.е. истина прямая теорема.

Посылка А называется необходимым условием для заключения, если В не появляется или не изменяется без появления или изменения А , или, если отрицание А непременно влечет отрицание B , т.е. если А необхо димо для В, то противоположная теорема истинна.

Посылка А называется достаточной и необходимой для заключения В , если выполняются одновременно оба условия.

Из структурной связи между четырьмя типами теорем и приведенных определений легко получаются следующие признаки, облегчающие установ-ление того, является ли посылка А достаточным или необходимым, или дос-таточным и необходимым условием. Признак 1. Если в прямой теореме, сформулированной в силлогистической форме, А ⎯ только достаточное условие для В , то обратная ей теорема (В ⇒ А) ⎯ будет ложной.

В самом деле. Если обратная теорема оказалась бы истинной, то противоположная ( 𝐴̅ ⇒ 𝐵̅ ), будучи связанной с обратной одновременной истинностью, оказалась бы так же истинной. Это противоречит условию: А ⎯ только достаточное условие, но не необходимое. Отсюда следует обратный вывод: если обратная теорема ( В ⇒ А ) ложна при истинности прямой (А ⇒ В), то условие А есть только достаточное для В. Признак 2°. Если в теореме (А ⇒ В) посылка (А) является достаточным и необходимым условием для заключения (В), то все четыре теоремы будут одновременно истинны.

В самом деле. Из того, что А ⎯ достаточное условие для В следует, что прямая теорема ( А ⇒ В ) истинна; из того, что А также необходимое условие для В ̅ ̅ следует, что противоположная ( 𝐴 ⇒ 𝐵 ) теорема истинна. Но прямая с обратной противоположной и противоположная с обратной свя заны одно временной истинностью. Следовательно, все четыре теоремы будут истинны. Обратно, если упомянутые четыре теоремы одновременно истинны, то А есть достаточное и необходимое условие для заключения В. Признак3. Если посылка (А ) ⎯ только необходимое условие для заключения ( В ), то прямая теорема ( А ⇒ В ) будет ложной. Доказательство. Из того, что А необходимое условие для В следует, что ̅ ̅ теорема 𝐴 ⇒ 𝐵 истинн а (по определению) и, следовательно, истинна так же обратная теорема (В ⇒ А). Если допустить, что и прямая теорема (А ⇒ В) истинна, то одновременно с ней должна была бы быть истинной и обратная ̅ ̅ противоположной ( 𝐵 ⇒ 𝐴 ) , т.е. оказались бы истинными все четыр е теоремы. Это противоречит условию, что А ⎯ только необходимое условие, но не достаточное.

̅ Наоборот. Если теорема ( А ⇒ В ) ложна, но противоположная ей ( 𝐴̅ ⇒ 𝐵 ) истинна, то посылка ( А ) ⎯ только необходимое условие для заключения ( В ). Приведём примеры, иллюстрирующие условия «достаточно», «необхо-димо», «достаточно и необходимо». Пример 1 . Условие А ⎯ достаточно для заключения В. Теорема. Если две прямые а и b перпендикулярны третьей прямой с (прямые а, b ,с ⎯ принадлежат одной плоскости 𝛼 ), то прямые а и b параллельны. (Теорема истинна).

Прямая теорема (А ⇒ В): (∀𝑎)(∀𝑏)(∀𝑐)[𝑎 ⊥ 𝑐 ∨ 𝑏 ⊥ 𝑐 ⇒ 𝑎 | | 𝑏 ] . (Форма записи теорем с использованием квантора общности и эквива-лентности может быть применена в 10 классе, а в 7 классе их целесообразно опустить, оставив остальное.) Обратная теорема (В ⇒ А): Если прямые а и b , пересекающие прямую с , параллельны, то они (а и b ) перпендикулярны прямой с . (Теорема ложна). ( ∀ 𝑎 ) ( ∀ 𝑏 ) ( ∀ 𝑐 ) [ 𝑎 ∗ 𝑐 ∨ 𝑏 ∗ 𝑐 ∧ 𝑎 | | 𝑏 ⇒ 𝑎 ⊥ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊥ 𝑐 ] . (Здесь знак * означает, что пересечение ⎯ не пустое множество). 2 . Применения элементов логики в задачах на делимость Приведем примеры, иллюстрирующие условия «достаточно», «необхо-димо», «достаточно и необходимо». Противоположная теорема ( 𝐴̅ ⇒ 𝐵 ̅ ) : Если прямые а и 𝑏 , пересекаю щие прямую с , не перпендикулярны прямой с , то они (а и 𝑏 ) не параллель ны. (Теорема ложна).

̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ( ∀ 𝑎 ) ( ∀ 𝑏 ) ( ∀ 𝑐 ) [ 𝑎 ⊥ 𝑐 ∧ 𝑏 | | 𝑐 ⇒ 𝑎 | | 𝑏 ] . 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝛼 ̅ ̅ Обратная противоположной ( 𝐵 ⇒ 𝐴 ) : Если прямые 𝑎 и 𝑏 , пересекающие прямую 𝑐 , не параллельны, то они ( 𝑎 и 𝑏 ) не перпендикулярны. (Тео рема истинна).

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ∀ 𝑎 ∀ 𝑏 ∀ 𝑐 [ 𝑎 × 𝑐 ∧ 𝑏 × 𝑐 ∧ 𝑎 | | 𝑏 ⇒ 𝑎 ⊥ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊥ 𝑐 ] . 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝛼 Пример 2. Условие А необходимо для заключения В . Теорема. Если натуральное число n делится на 5, то оно делится на 10. (Заметим, что натуральное число n записывается в деся тичной системе счисления:

𝑘 − 1 𝑘 − 2 𝑛 = ( 10 𝑎 + 10 𝑎 + ⋯ + 𝑎 ) .

𝑘 𝑘 − 1 1 (𝐴 ⇒ ) ( ) [ ] Прямая теорема 𝐵 : ∀ 𝑛 𝑛 ⋮ 5 ⇒ 𝑏 ⋮ 10 . (Теорема ложна).

Обратная теорема ( 𝐵 ⇒ 𝐴 ) : ( ∀ 𝑏 ) [ 𝑛 ⋮ 10 → 𝑛 ⋮ 5 ] . Если натуральное число 𝑛 делится на 10, то оно делится на 5. (Теорем а истинна).

̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ Противоположная теорема ( 𝐴̅ ⇒ 𝐵 ): ∀ 𝑛 [ 𝑛 ⋮ 5 ⇒ 𝑛 ⋮ 10 ] . 𝑛 ∈ 𝑁 Если натуральное число 𝑛 не делится на 5, то оно не делится на 10. (Теорема истинна).

̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ Обратная противоположной ( 𝐵 ⇒ 𝐴 ) : ∀ 𝑛 [ 𝑛 ⋮ 10 ⇒ 𝑛 ⋮ 5 ] . 𝑛 ∈ 𝑁 Если натуральное число 𝑛 не делится на 10, то оно не делится на 5. (Теорема ложна).

Пример 3. Условие А достаточно и необходимо для заключения В . Теорема. Если сумма S цифр натурального числа 𝑛 делится на 3, то и само число делится на 3.

Прямая теорема ( А ⇒ В ): ∀ 𝑛 [ 𝑠 : 3 ⇒ 𝑛 : 3 ] . 𝑛 ∈ 𝑁 (Теорема истинна).

Обратная теорема ( В ⇒ А ): ∀ 𝑛 [ 𝑛 ⋮ 3 ⇒ 𝑠 ⋮ 3 ] . 𝑛 ∈ 𝑁 Если натуральное число 𝑛 делится на 3, то сумма его цифр делится на 3. (Теорема истинна).

̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ Противоположная теорема ( 𝐴̅ ⇒ 𝐵 ): ∀ 𝑛 [ 𝑠 ⋮ 3 ⇒ 𝑛 ⋮ 3 ] . 𝑛 ∈ 𝑁 Если сумма цифр натурального числа не делится на 3, то и само число не делится на 3. (Теорема истинна).

̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ Обратная противоположной. ( 𝐵 ⇒ 𝐴 ) : ∀ 𝑛 [ 𝑛 ⋮ 3 ⇒ 𝑠 ⋮ 3 ] . 𝑛 ∈ 𝑁 Если натуральное число не делится на 3, то и сумма его цифр не делится на 3. (Теорема истинна).

Заметим, что доказательство этих теорем в 8 классе может быть проведено в общем виде; в 7 классе целесообразно ограничиться методом неполной индукции, указав учащимся, что они будут доказаны позже. Применения элементов логики при решении неравенств Логическая грамотность ⎯ необходимая составная часть образовательного минимума, ее отсутствие ведет к непоследовательности и противоречивости мышления, к многочисленным математическим ошибкам. Например, учащиеся и даже некоторые студенты, не знакомые с законами логики, на вопрос истины или ложны высказывания типа 4 ≤ 8; 5 ≥ 5, отвечают, что оба высказывания ложны, потому что 4 ≠ 8, а 5 не может быть больше 5. Вот результат бессознательной тренировки в выполнении логических операций. И несмотря на то, что союз «или» довольно часто применялся учащимися, одно лишь его применение не привело к пониманию смысла логического термина «дизъюнкция».

Логическая неграмотность учащихся приводит к неумению строить теоремы, обратные данным, правильно решать уравнения, неравенства. В последнем случае ученики приходят к неверному выводу в результате пренебрежения логической связью между системами неравенств, в связи с применением одного союза вместо другого (например, союза «и» в смысле «или» или наоборот).

Точность записи решения, которую обеспечивает математическая логика, позволяет избежать подобных ошибок.

Пример. Решить неравенство:

6 𝑥 + 3 < 0 .

7 − 𝑥 Учащиеся, начиная решать неравенства такого типа, рассматривают довольно часто вместо совокупности двух систем, их конъюнкцию, не видя различия между знаками совокупности и системы, т.е. они рассуждают так: «неравенство верно, когда 6 𝑥 + 3 < 0 , 6 𝑥 + 3 > 0 , { и { 7 − 𝑥 > 0 7 − 𝑥 < 0 1 1 𝑥 < − , 𝑥 > − , { и { 2 2 𝑥 < 7 . 𝑥 > 7 .

Значит , 𝑥 > 7 и 𝑥 < − ».

Приходят к выводу, что данное неравенство не имеет решения. К ошибке их привело то, что они вместо объединения множеств решений двух систем исходного неравенства взяли их пересечение. Запись решения данного неравенства с помощью символов логических понятий позволяет избежать этой ошибки, а также позволяет точно и кратко представить ход решения:

6 𝑥 + 3 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] < 0 ⇔ 6 𝑥 + 3 > 0 ∧ 7 − 𝑥 < 0 ∧ 6 𝑥 + 3 < 0 ∧ 7 − 𝑥 > 0 ⇔ 7 − 𝑥 1 1 1 ⇔ [(𝑥 > − ) ∧ (𝑥 > 7)] ∨ [(𝑥 < − ) ∧ (𝑥 < 7)] ⇔ (𝑥 > 7) ∨ (𝑥 < − ). 2 2 2 6𝑥+3 1 1 M [ < 0] = M [(𝑥 > 7) ∨ (𝑥 < − )] = M [𝑥 > 7] ∪ M [𝑥 < − ] = 7−𝑥 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = ( − ∞ , − ) ∪ ( 7 , ∞ ) .

В зависимости от условия предложенного учащимися неравенства, иногда они могут получить верный ответ при неверном ходе решения. 4 𝑥 − 2 Например, при решении неравенства < 0 они поступают так: 4 𝑥 + 3 4 𝑥 − 2 > 0 , 4 𝑥 − 2 > 0 , { и { 4 𝑥 + 3 < 0 . 4 𝑥 + 3 > 0 .

1 1 𝑥 > , 𝑥 < , 2 2 { и { 3 3 𝑥 < − . 𝑥 > − .

4 4 В данном случае, независимо от того, что учащимися была взята конъюнкция двух систем, вместо их совокупности, ответ был получен верный: 3 1 3 1 − < 𝑥 < или ( − ; ) .

4 2 4 2 Использование логической символики при записи решения этого нера-венства приводит к такому же результату потому, что множество решений одной из систем (в нашем случае, первой) есть пустое множество: 4 𝑥 − 2 < 0 ⇔ [ ( 4 𝑥 − 2 > 0 ) ∧ ( 4 𝑥 + 3 < 0 ) ] ∨ [ ( 4 𝑥 − 2 < 0 ) ∨ ( 4 𝑥 + 3 > 0 ) ] ⇔ 4 𝑥 + 3 1 3 1 3 ⇔ [ ( 𝑥 > ) ∧ ( 𝑥 < − ) ] ∨ [ ( 𝑥 < ) ∧ ( 𝑥 > − ) ] ⇔ 2 4 2 4 1 3 ⇔ [ 𝑥 ∈ ∅ ] ∨ [ ( 𝑥 < ) ∧ ( 𝑥 > − ) ] . 2 4 4𝑥−3 3 1 3 1 M [ < 0] = ∅ ∪ (− ; ) = (− ; ) .

4𝑥+3 4 2 4 2 𝑥 Таким образом, порой, в силу случайностей, учащиеся получают верный ответ, но чаще приходят к неправильному результату. Применение общелогических операций в явном виде помогает учащимся безошибочно определить множество решений неравенств и уравнений. Экспериментальные материалы При проведении эксперимента (г. Нальчик, лицей № 2, 10 классы) было замечено, что большинство учащихся чувствуют себя неуверенно при дока-зательстве геометрических теорем и решении задач, когда нужно выяснить «что доказывается», «из чего это следует и почему». Теорема, представленная в форме условного предложения, не только помогает учащимся четко видеть условие теоремы и ее заключение, но дает возможность сформулировать теорему, обратную данной. В действующих учебных пособиях по геометрии учащихся знакомят с условной формой теоремы в 7 классе. Кроме того, знакомство с примерной структурой математического дока-зательства способствует «раскованности» ученика при решении задач на доказательство, самостоятельном доказательстве теорем, помогает усвоить новый материал. В учебных пособиях для средней школы об этом не говорится. Ученикам «10-Э» класса при изучении ими темы «Параллельные плоскости», было предложено самостоятельно доказать две теоремы по этой теме:

Теорема 1 °. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плос-костью, то линии пересечения параллельны. Теорема 2°. Через данную вне плоскости точку можно провести одну и только одну плоскость, параллельную данной плоскости. Учащиеся с заданием не справились. В параллельном классе «10-М», с учениками которого неоднократно решались и доказывались задачи и теоремы с пояснением их общелогической структуры, учащиеся понимают доказательство как построение логически последовательной цепочки предложений, каждое из которых обосновано с помощью известных определений понятий, аксиом или уже доказанных утверждений.

Допуская, что условие истинно, следя за истинностью цепочки рассуждений, приходят к истинности заключения. Эти ученики дали математические грамотное доказательство обеих теорем в следующей форме : Теорема 1 . Дано : 𝛼||𝛽, 𝛾 ∩ 𝛼 = 𝑎 , 𝛾 ∩ 𝛽 = 𝑏 . Доказать : 𝛼 | | 𝑏 . Доказательство . От противного:

1) Допустим 𝑎 ∩ 𝑏 = 𝐴 .

2) Но 𝛼||𝛽, 𝛼 ≠ 𝛽 .

𝐴 ∈ 𝑎 3) } = ( 𝐴 ⊂ 𝛼 ∧ 𝐴 ⊂ 𝛽 ) ⇒ 𝐴 ∈ 𝑏 (5 аксиома) 𝛼 ∩ 𝑏 – что противоречит условию. 4) Значит 𝛼||𝛽 .

Теорема 2 .

Дано : 𝐴 ∉ 𝛼 .

Доказать : ∃! 𝛽 , 𝛽 | | 𝛼 .

Доказательство .

1) 𝐴 ∈ 𝛼 , 𝐴 ∈ 𝛽 , 𝛽 | | 𝛼 .

2) Допустим ∃ 𝛽 | | 𝛼 , 𝐴 ∈ 𝛽 , 𝛽 ≠ 𝛽 . 1 1 1 3)( Аксиома 5 . Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая) ⇒𝛽 ∩ 𝛽 = 𝑚 . 4)Проведём прямую 𝑙 такую, что 𝑙 ∸ 𝑚, 𝑙 ∈ 𝛼. 5)( Следствие 2 . Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.) ⇒∃𝛾, 𝐴 ∈ 𝛾 , 𝑙 ∈ 𝛾 . 6) 𝛾 ∩ 𝛽 = 𝑏 , 𝛾 ∩ 𝛽 = 𝑏 .

1 1 7) (Теорема 7 : Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны между собой) ⇒𝑏||𝑙, 𝑏 || 𝑙 . Противоречие с определением параллельности прямых, (Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.) 8) Значит ∃! 𝛽 , 𝑏 | | 𝛼 .

В отличие от учебных пособий по геометрии, в учебниках по алгебре недостаточно использованы общие логические понятия и соответствующий язык, хотя их использование не отвергается авторами программы по алгебре. В обязательной записке к программе читаем: «В связи с изучением урав-нений и неравенств естественно познакомить учащихся с общими логическими понятиями».

Это требование навеяно, в частности, из-за ошибок, которые получаются от неточных записей решения, а это результат незнания общелогических понятий. Действительно, приведём примеры из опыта. Учащимся «10-Э» класса (средний по уровню знаний) и «10-М» класса (с учащимися решались упражнения на использование знаний логических понятий) было предложено решить несколько упражнений. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1 , Учащиеся класса «Э» при решении уравнения |𝑥 − 4| + 3 𝑥 = 0 получили два решения: { 1 ; − 2 } .

Ход их решения таков:

|𝑥 − 4| + 3 𝑥 = 0 , 2 2 |𝑥 − 4| = (−3 𝑥 ) 8𝑥 + 8 𝑥 − 16 = 0 , 𝑥 + 𝑥 − 2 = 0 , − 1 ± 9 √ 𝑥 = , 𝑥 = 1 , 𝑥 = − 2 , 1 , 2 1 2 M = { 1 ; − 2 } .

𝑥 Ни один из учащихся не сделал проверки, поэтому посторонний корень ( х = 1) остался не выявленным.

Учащиеся, знакомые с понятием дизъюнкции, конъюнкции и символи-ческим языком математики («10-М»), решили это уравнение верно, избежали ошибки, допущенные в параллельном классе: |𝑥 − 4| + 3 𝑥 = 0 , 4 𝑥 − 4 = 0 , 2 𝑥 + 4 = 0 , { ∨ { 𝑥 − 4 ≥ 0 . 𝑥 − 4 < 0 .

𝑥 = 1 , { 𝑥 ≥ 4 . 𝑥 = − 2 , [ ⇒ { 𝑥 = − 2 , 𝑥 < 4 .

{ 𝑥 < 4 .

M [|𝑥 − 4| + 3 𝑥 = 0 ] = ∅ ∪ { − 2 } = { − 2 } . 𝑥 3 2 Пример 2°. Решить уравнение: х -3 х -4 х + 12 = 0. Большинство учащихся, знакомых с элементами математической логики, решили это уравнение следующим образом: 3 2 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 𝑥 − 3 𝑥 − 4 𝑥 + 12 = 0 ⇔ 𝑥 − 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 = 0 С помощью преобразований пришли к совокупности уравнений: [ ( ) ( ) ( ) ] 𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0 ⇔ ⇔ M [ 𝑥 = 3 ] ∪ [ 𝑥 = 2 ] ∪ [ 𝑥 = − 2 ] = 𝑥 3 2 = [ 𝑥 − 3 𝑥 − 4 𝑥 + 12 = 0 ] = { − 2 ; 2 ; 3 } . Такая форма записи позволяет избежать ошибки при нахождении множе-ства решений данного уравнения. 𝑥−7 Пример 3 . Решить неравенство: > 0.

𝑥−3 Вследствие слабых знаний логической связи, при решении этого (и подобных ему) неравенства, учащиеся «10-Э» класса пришли к неверному ответу: данное неравенство не имеет решения. Вот их рассуждение:

«Неравенство распадается на две системы : 𝑥 − 7 > 0 , 𝑥 > 7 , { { ⇒ 𝑥 > 7 .

𝑥 − 3 > 0 . 𝑥 > 3 .

𝑥 − 7 < 0 , 𝑥 < 7 , { { ⇒ 𝑥 < 3 .

𝑥 − 3 < 0 . 𝑥 < 3 .

Ответ: х <3 и х >7, решения нет».

Применение логических операций позволяет полностью записать на точном языке рассуждения, которое выполняется при решении данного неравенства. Знание же смысла понятий конъюнкции и дизъюнкции привело учащихся «10-М» класса, знакомых с ними, к правильному ответу: 𝑥 − 7 > 0 ⇔ [ ( 𝑥 − 7 > 0 ) ∧ ( 𝑥 − 3 > 0 ) ] ∨ [ ( 𝑥 − 7 < 0 ) ∧ ( 𝑥 − 3 < 0 ) ] ⇔ 𝑥 − 3 ⇔ [ ( 𝑥 > 7 ) ∧ ( 𝑥 > 3 ) ] ∨ [ ( 𝑥 < 7 ) ∧ ( 𝑥 < 3 ) ] ⇔ ( 𝑥 > 7 ) ∨ ( 𝑥 < 3 ) ; 𝑥 − 7 M [ > 0 ] = M [ 𝑥 > 7 ] ∪ [ 𝑥 < 3 ] = ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 7 ; + ∞ ) . 𝑥 𝑥 𝑥 − 3 Заключение Неправильные ответы, полученные учащимися в ходе проверки, говорят о том, что обучение математике традиционными методами, пренебрегающими общелогическими понятиями, не достигают логического развития. Использование в школьной программе по математике общих логических понятий и соответствующего языка необходимо для поднятия уровня общей логической подготовки учащихся, для более широкого развития культуры их математического мышления. Это не только необходимо, но и возможно, о чём говорят многочисленные эксперименты, проводимые по стране. Это же подтвердилось и в нашей работе по использованию общелогических понятий в процессе преподавания математики в школе. Приведенные нами здесь методические рекомендации также говорят о необходимости и возможности более раннего изучения элементов логики в школьном курсе математики в целях развития мышления учащихся.