Взаимосвязь дифференциации обучения и концепции укрупнения дидактических единиц в изучении базисных трансцендентных функций

© Мамхегов А.Б., 2023 В изучении базисных элементарных трансцендентных функций имеется ряд недостатков. В частности, более «простые» соответствия, выражаемые показательной и логарифмической функциями, изучаются позже, чем более «сложные», выражаемые тригонометрическими функциями. Это приводит к возрастанию трудности по усвоению материала, невозможности применения средств анализа при введении и изучении тригонометрических функций числового аргумента. Элементарные трансцендентные функции изучаются оторвано друг от друга и от идей и методов математического анализа. Отсутствует единая стержневая идея. Необходимость введения и изучения данных функций отсутствует, либо носит искусственный характер.

В результате трансцендентные функции из интересных и важных примеров, иллюстрирующих общие идеи и методы математического анализа, превращаются в навязываемый без мотивации материал. Учащиеся «не видят» необходимость измерения углов в радианах, а в эффективности последнего убеждаются только после изучения всего тригонометрического материала. Более того, эти проблемы удваиваются в связи с определением числа π как отношения длины окружности к своему диаметру. При этом длина окружности выводится с помощью первого замечательного предела, который, соответственно, «выводится» на основе геометрических соображений. А учащиеся, знакомящиеся на факультативных и элективных курсах с неевклидовыми геометриями, узнают, что отношение длины окружности к своему диаметру не является постоянным числом, так как в этих геометриях нет понятия подобия фигур, на котором и базируется школьное определение числа π. Имеется еще ряд более «мелких» проблем в построении теории тригонометрических функций в школе [Мамхегов 1994c; 1996; 1998], [Мамхегов 2022], [Новоселов 1967], [Современные основы школьного курса математики 1980]. Все перечисленные проблемы устраняются на основе вузовской программы. Примеры аналитического построения теории тригонометрических функций содержатся в учебных пособиях для ВУЗов и учителей, написанных авторитетными математиками-методистами Н.Я. Виленкиным [Современные основы школьного курса математики 1980], А.П. Веселовым, С.Г. Гиндикин [Веселов, Гиндикин 1984], С.И. Новоселовым [Новоселов 1967].

При этом в качестве определения берутся:1) функциональный ряд; 2) система функциональных уравнений; 3) интеграл с переменным верхним пределом; 4) дифференциальные уравнения; 5) непрерывные отображения специальных числовых групп. Ясно, что соответствующие варианты построения теории используют достаточно высокий математический аппарат. Тем не менее, схему построения теории в школе на основе дифференциального уравнения гармонических колебаний, без каких-либо подробностей, указывали в своих пробных учебниках Е.С. Кочетков и Е.С. Кочеткова [Кочетков, Кочеткова 1973], а известный методист Ю.М. Колягин, перечисляя возможные подходы к построению теории, выделил указанный прием как наиболее близкий к школьной программе и имеющий перспективу при дальнейшем упрочении начал математического анализа в школе [Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики 1977].

С.Г. Гиндикин и А.П. Веселов разработали соответствующий учебный материал для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике. При этом они предложили этот же вариант для построения и показательной функции [Веселов, Гиндикин 1984].

Ученый-геометр и известный учитель математики В.И. Рыжик разработал вариант построения теории для классов с углубленным изучением математики. В основу теории он положил определение тангенса как интеграл с переменным верхним пределом [Рыжик 1993].

До реформы 1984 года совершенствование методики изучения тригонометрических функций числового аргумента не могло быть осуществлено в должной мере по объективным причинам. Необходимость подачи учебного материала в одном и том же виде для всех категорий учащихся практически превращала тригонометрию в самоцель, а тригонометрические функции числового аргумента не вписывались в систему начал анализа по стилю их построения. Учащимся, которым достаточны были первоначальные наглядные геометрические представления о них, обобщение на случай числового аргумента воспринималось как повторение ранее изученного, другая категория учащих, проявляющая интерес к изучению математики, не удовлетворялась интуитивной основой, не доказанными предложениями, «привязанностью» рассматриваемых функций к геометрическим объектам и т.д. Тем временем «золотая середина» учащихся усваивала материал на удовлетворительном уровне и быстро его забывала.

Аналогичная ситуация прослеживается и при изучении показательной функции. Невозможность в школе четко определить эти функции для иррациональных показателей приводит к конструктивному пути их введения и изучения. В результате одни и те же свойства несколько раз «передоказываются» в связи с каждым обобщением показателя, а «обоснование» теории в 11 классе носит искусственный характер, не вполне отвечает заявленной локальной дедукции и не оправдывает поставленную цель.

Такое положение со временем изменилось. Проблемы дифференциации и индивидуализации обучения выявили необходимость пересмотра не только методов и приемов обучения, но и содержания программ. К отбору материала можно и нужно подходить не только с точки зрения его значимости в самой математике, но и с учетом наклонностей обучаемого, специфики будущей профессии, некоторых межпредметных связей, отошедших в последнее время на второй план, и т.д. На наш взгляд, необходимо воспользоваться идеями и соображениями, выдвинутыми в работах по дифференциации обучения и технологии реализации концепции П.М. Эрдниева по укрупнению дидактических единиц (УДЕ) [Эрдниев 1992].

Предлагается следующая схема, опробованная на внеклассных занятиях в школах г. Нальчика и Республиканском дворце творчества детей и юношества.

На базе простейших алгебраических функций, изучаемых в неполной школе элементарными средствами, в начале 10 класса рассматриваются понятия и методы начал анализа, т.е. проводится взаимосвязанное изучение производной, интеграла и простейших дифференциальных уравнений на базе указанных функций. А в курсе геометрии изучаются тригонометрические функции углового аргумента в соответствии с программой. Затем на основе дифференциальных уравнений естественного роста (убывания) и гармонических колебаний, вводятся, соответственно, показательная и тригонометрические функции, а изучаются они, а также обратные им функции, с помощью средств и методов начал анализа. Такая схема объединения родственных разделов и их изучения с единых позиций отвечает идеям и духу технологии обучения с помощью УДЕ, устраняет недостатки, описанные выше. При этом повышается функциональная и алгебраическая культура учащихся, высвобождается время, которое можно уделить повышению уровня умений и навыков учащихся. В результате экспериментальных исследований получены следующие выводы. При внутренней (уровневой) дифференциации имеющиеся модификации традиционной методики достаточны только для массовой школы. При внешней (профильной) дифференциации целесообразно использовать аналитический путь построения темы при углубленном изучении, осуществить полный переход на геометрический путь изложения в технических классах, считать достаточным материал о тригонометрии треугольника в гуманитарных классах. Более подробно затронутая проблема обсуждаются в других наших публикациях [Мамхегов 1993, 1994a, 1994b, 1994c, 1996, 1998, 2001, 2022].