Об одном сборнике задач для подготовки учащихся к Единому государственному экзамену по математике

© Мамхегов А.Б., 2023 Группа разработчиков заданий ЕГЭ по математике из 16 человек, во главе с директором Московского центра непрерывного математического образования И.В. Ященко, вот уже несколько лет выпускает задачник для подготовки к ЕГЭ [ЕГЭ: 4000 задач… 2023].

На обложке этого издания читаем довольно «кричащие» слова: – ЕГЭ. Банк заданий.

– Все задания «Закрытый сегмент».

– Создано разработчиками ЕГЭ.

– 4000 задач с ответами.

И действительно, этот задачник, видимо, является самым востребованным учащимися, учителями и репетиторами при подготовке первой части ЕГЭ (задачи типов 1–11) и переиздается ежегодно, но практически без исправлений. Несмотря на такую рекламу, приведём некоторые замечания и предложения по его улучшению. При этом будем соблюдать порядок следования по типам заданий в самом сборнике. Номера заданий, если это не обозначено отдельно, соответствуют изданию 2023 года [ЕГЭ: 4000 задач… 2023].

Тип 2. №№ 2 и 5, 3 и 13 попарно полностью совпадают. № 11 не соответствует типу 2, его место в типе 10.

Тип 7. В заданиях №№ 128 и 129 общее сопротивление группы приборов без обогревателя и с ним обозначены одной и той же буквой R, в результате чего получаем противоречия, а в формуле общего сопротивления присутствуют непривычные для учащихся обозначения: R и R . Желательно x y сопротивление приборов без обогревателя обозначить R (в задачнике это первое R), а с ним, через R (в задачнике это R ). При этом обозначение 2 y конечного общего сопротивления можно оставить, а еще лучше обозначить как R общ.

Именно такие обозначения мы наблюдаем в задачнике других авторов [Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. 2010, 50, 72 № 10]. В рассматриваемом нами задачнике в №№ 237–239, представляющих кальку указанных заданий (№№ 128–129), уже нет такой оплошности и «заумных» обозначений R и R , а текст соответствует упомянутому задачнику x y Мальцевых.

В заданиях № 235–236 учащиеся сталкиваются со словесным оборотом «…амплитуда колебаний превосходит величину А не более чем на одну о пятнадцатую/на одну треть…». Из текста не совсем понятно «… на одну пятнадцатую/на одну треть…» превосходит А (амплитуду) или А – о постоянный параметр. В цитированном задачнике Мальцевых хотя бы уточняется, что именно превосходит величину А : «…амплитуда колебаний о А превосходит величину А не более …» [Мальцев Д.А., Мальцев А.А., о Мальцева Л.И. 2010, 94 № 10].

Задания № 227–229 представляют собой одну и ту же задачу с различными числовыми данными. Приведем полный текст задания №227. «Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f = 250 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону ( ) (Гц), где с – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются более чем на 2 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближается к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 315 м/с. Ответ выразите в м/с» [ЕГЭ: 4000 задач… 2023, 56–57]. Решение в общем виде приводит к строгому неравенству , где а – наименьшее значение разности частот. Ясно, что наименьшее значение невозможно указать. «Исправим» текст: будем считать, что оборот «…отличаются более чем на …» является опечаткой и должно быть «…не менее». Тогда получаем нестрогое неравенство и при подстановке числовых данных имеем: т.е. ответ: 2,5 м/с. А в задачнике приведен другой ответ: 1,25!?

Подставляя в получаемое нестрогое неравенство данные заданий №№228 и 229 имеем, соответственно, и . Тогда ответы, соответственно, 8 и 4, а в задачнике приводятся ответы 0,8 и 0,5, соответственно.

Точно такое же задание, но с другими числовыми данными и формулировкой «… не менее чем …», имеется в задачнике Мальцевых [Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. 2011, 6–7, № 10]. Здесь учащиеся уже не сталкиваются с недоразумениями.

Кроме приведенных заданий отметим, что по №№ 161 и 297 числовые данные таковы, что по ним невозможно получить «хорошие» (подходящие под I часть заданий ЕГЭ) ответы. А в задачнике ответы «хорошие», соответственно, 20 и 2,4. Отметим также и другие задания по данному типу с неверными ответами.

№ по Ответ в Правильный Примечания задачнику задачнике ответ 165 60 45 Ошибка в вычислениях 193 51 5 Опечатка 233 22 11 Ошибка в вычислениях 251 323 340 Ошибка в вычислениях 295 16 4 Ошибка в вычислениях Логическая и вычислительная 305 80 75 ошибки Эта таблица приводит к мысли, что в «ловушки», расставляемые для учащихся разработчиками заданий, иногда попадают и сами авторы задач. А то, что четыре года подряд задачник выходит без каких-либо исправлений показывает небрежное отношение к работе, как составителей сборника, так и сотрудников издательства «Экзамен».

Следует отметить, что совершенно одинаковые задачи, различающиеся только числовыми данными, не сгруппированы. Желательно также в конец этого раздела перенести задания, требующие знаний по решению тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, так как последние в школах изучаются позднее. Тип 1. На наш взгляд, целесообразно уравнения группировать в следующем порядке: линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические, а к последним добавить простейшие, содержащие функции синус и тангенс, так как в задачнике приведены уравнения только с косинусом. В № 617 указан ответ 0,0625. Должно быть: 0,625. Тип 4. Задания расположены не по порядку возрастания трудности. Целесообразно группировать задания на вычисления следующим образом: арифметические действия над дробями; рациональные; дробно-рациональные; степенные; показательные; логарифмические; тригонометрические выражения.

Тип 8. Задания № 1274 и 1280 полностью совпадают. К заданию № 1379 приводится ответ 7, вместо правильного ответа 8. Желательно перегруппировать задания по типам (на движение, на работу и т.д.) и по возрастанию трудности.

Тип 9. целесообразно перегруппировать задания в соответствии с их порядком изучения в школе: линейная, квадратная, дробно-рациональная, степенная, показательная, логарифмическая функции. Тип 10. Задания не расположены по порядку трудности. Те задания, в которых применяются формулы Бернулли и Байеса желательно перенести в конец раздела, а остальные расположить по сходству фабулы заданий и родственности применяемых приемов и методов.

Тип 6. Не учитывается, что первообразная изучается в школе значительно позднее производной. Целесообразно перегруппировать задания в соответствии школьной программы. Наблюдается «перебор» с заданиями на нахождение углового коэффициента и выяснение количества точек экстремума и интервалов монотонности.

Тип 11. Целесообразно перегруппировать задания в соответствии с порядком изучения производных функций в школе: рациональные, дробно-рациональные, степенные, тригонометрические, показательные, логарифмические функции.

В №№ 1977, 1979, 2044, 2045 требование «нахождение наименьшего значения» необходимо заменить на «нахождение наибольшего значения», а в № 2050 –наоборот. Только в этом случае имеем ответы, указанные в задачнике. В противном случае ответы не будут выражаться в виде конечной десятичной дроби. В №1978 функция на указанном промежутке всюду возрастает, а в конце принимает наибольшее значение, которое не выражается в виде конечной десятичной дроби.

Тип 3. В №№ 2081–2083, 2090–2092, 2099–3001, 2102–2104, 2105– 2107, 2018–2020, 2114–2116 рассматриваются тупоугольные треугольники, а на рисунках, соответствующих этим заданиям, изображены остроугольные треугольники. На рисунке к заданию № 2198 неверно отмечено расположение точки В. Лучше вообще не иллюстрировать условия заданий рисунками, чем такая «наглядность» для учащихся! В № 2220 даны неудачные числовые данные, которые не приводят к ответу 3,125, данному в задачнике.

Приведем другие замеченные нами неисправленные ответы по данному типу.

№ по Ответ в Правильный Примечания задачнику задачнике ответ 2387 0,8 0,4 Невнимательность 2411 0,4 0,8 Невнимательность 2423 9 11,25 Ошибка 2427 2,5 12,5 Опечатка 2430 3,75 15 Ошибка 2438 1,5 2 Ошибка 2459 -0,8 0,8 Опечатка Все перечисленные недочеты «кочуют» несколько лет в переизданиях сборника.

Тип 4. В № 2566 требуется найти объем части призмы. Но при этом для искомой величины приводятся все вершины исходной призмы, объем последней тоже задан. Получаем казус: найти объем призмы, если его объем известен!?

В №№ 2575, 2576 вместо ответов ⁄ и ⁄ указаны ответы 8 и 44. Видимо, забыли в требовании указать утроенный объем, либо в формуле объема пирамиды забыли коэффициент ⁄ .

В № 2579 пропущена вершина D . Иначе, по приведенному условию шестиугольной призмы не получается.

В № 2611 объем разбивается на две части: 21 и 9. При требовании записать в ответе больший из них, приводится ответ 9?! В № 2662 в ответе указано 10, вместо правильного ответа 45. В № 2738 в ответе указано 307,5 вместо правильного ответа 152,5. Целесообразно перегруппировать задания по типам: площади, объемы. При этом расположить их в порядке изучения геометрических тел в школе: призмы, пирамиды, круглые тела.

Авторский коллектив рассматриваемого задачника составил довольно неплохое пособие для учащихся, но перечисленные недостатки во многом перечеркивают достоинства издания. Учащиеся теряют веру в себя, а учителя становятся в неловкое положение от обилия неправильных ответов и неточностей в условиях заданий. Если разъяснения учителя по таким казусам понятны сильным учащимся, то слабые учащиеся приобретают недоверие к учителю. Ведь задачник издан в столичном издательстве, хотя эти недочеты из года в год «перекочевывают» в очередные переиздания! Кому верить учащемуся: учителю или именитым авторам пособий по математике?! С другой стороны, издательство «МЦНМО» выпускает другие разработки тех же авторов, но они не грешат такими неточностями. Следовательно, вина лежит не только на составителях сборника, но и на сотрудниках издательства «Экзамен». Надеемся, что наши замечания будут учтены при следующих переизданиях рассматриваемого пособия.